Given any irreducible algebraic (mirror) curve and any (light position) , the caustic by reflection of from S is the Zariski closure of the envelope of the reflected lines got from the lines coming from S after reflection on . In Josse and Pène (forthcoming [7] and preprint [8]), we established formulas for the degree and class (with multiplicity) of for any and any S. In this paper, we prove the birationality of the caustic map for a generic S in . Moreover, we give simple formulas for the degree and class (without multiplicity) of for any and for a generic S in .
Étant donnés une courbe algébrique irréductible (miroir) et une position (position de la source lumineuse), la caustique par réflexion de issue de S est lʼadhérence de Zariski de lʼenveloppe des droites réfléchies obtenues à partir des droites issues de S après réflexion sur . Dans Josse et Pène (forthcoming [7] et preprint [8]), nous avons établi des formules pour le degré et la classe (avec multiplicité) de valables pour toute courbe et tout S. Lʼobjet de la présente note est de prouver la birationnalité de lʼapplication caustique (pour un S générique dans ) et de donner des formules simples pour le degré et la classe (sans multiplicité) de pour toute courbe et pour un S générique dans .
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Alfrederic Josse 1; Françoise Pène 1
@article{CRMATH_2013__351_7-8_295_0, author = {Alfrederic Josse and Fran\c{c}oise P\`ene}, title = {Degree and class of caustics by reflection for a generic source}, journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique}, pages = {295--297}, publisher = {Elsevier}, volume = {351}, number = {7-8}, year = {2013}, doi = {10.1016/j.crma.2013.04.019}, language = {en}, }
Alfrederic Josse; Françoise Pène. Degree and class of caustics by reflection for a generic source. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 7-8, pp. 295-297. doi : 10.1016/j.crma.2013.04.019. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.04.019/
[1] Courbes géométriques remarquables. Courbes spéciales planes et gauches. Tome I, Nouveau tirage Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard, Paris, 1967 viii+451 pp. (in French)
[2] Focal loci of algebraic varieties. I. Special issue in honor of Robin Hartshorne, Commun. Algebra, Volume 28 (2000) no. 12, pp. 6017-6057
[3] Détermination, par le principe des correspondances, de la classe de la développée et de la caustique par réflexion dʼune courbe géométrique dʼordre m et de classe n, Nouv. Ann. Math. 2 ser., Volume 10 (1871), pp. 97-104 (extrait C. R. séances A. S. t. LXII)
[4] G.P. Dandelin, Notes sur les caustiques par réflexion, 1822.
[5] The Evolute of a Plane Algebraic Curve, UTM, vol. 408, University of Trento, Italy, 1992
[6] Intersection Theory, Springer-Verlag, 1998
[7] On the degree of caustics by reflection, Commun. Algebra (2013) (forthcoming)
[8] On the class of caustics by reflection (preprint) | arXiv
[9] Énoncés de quelques théorèmes nouveaux sur les caustiques, C. G. Q., Volume 1 (1828), p. 14 (147–149)
[10] A Treatise on the Higher Plane Curves: Intended as a Sequel to a Treatise on Conic Sections, Elibron Classics, 1934
[11] Focal loci of algebraic hypersurfaces: a general theory, Geom. Dedic., Volume 70 (1998), pp. 1-26
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