Comptes Rendus
no. 3
Dynamical systems
The resurgent character of the Fatou coordinates of a simple parabolic germ
[Résurgence des coordonnées de Fatou des germes paraboliques simples]

Présenté par : Jean-Pierre Ramis

Artem Dudko1 ; David Sauzin2
1 Institute for Mathematical Sciences, University of Stony Brook, NY, USA
2 CNRS UMI 3483, Laboratorio Fibonacci, Centro di Ricerca Matematica Ennio De Giorgi, Scuola Normale Superiore di Pisa, Italy
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 3, pp. 255-261.

Pour un germe holomorphe à l'origine de C avec un point fixe parabolique simple, la dynamique locale se décrit classiquement à l'aide d'une paire de coordonnées de Fatou, qui permet de définir une paire d'applications de corne, cruciale pour le résultat de classification analytique d'Écalle–Voronin et pour la définition de l'opérateur de renormalisation parabolique. Nous revisitons l'approche d'Écalle fondée sur la sommation de Borel–Laplace pour construire les coordonnées de Fatou et donnons une démonstration originale complète de leur caractère résurgent.

Given a holomorphic germ at the origin of C with a simple parabolic fixed point, the local dynamics is classically described by means of pairs of attracting and repelling Fatou coordinates and the corresponding pairs of horn maps, of crucial importance for Écalle-Voronin's classification result and the definition of the parabolic renormalization operator. We revisit Écalle's approach to the construction of Fatou coordinates, which relies on Borel–Laplace summation, and give an original and self-contained proof of their resurgent character.

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DOI : 10.1016/j.crma.2013.12.005
Artem Dudko 1 ; David Sauzin 2

1 Institute for Mathematical Sciences, University of Stony Brook, NY, USA
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Artem Dudko; David Sauzin. The resurgent character of the Fatou coordinates of a simple parabolic germ. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 352 (2014) no. 3, pp. 255-261. doi : 10.1016/j.crma.2013.12.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.12.005/

[1] A. Dudko, D. Sauzin, On the resurgent approach to Écalle–Voronin's invariants, 2013, preprint oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00849401.

[2] O. Lanford; M. Yampolsky The fixed point of the parabolic renormalization operator, 2012 | arXiv

[3] J. Écalle, Les fonctions résurgentes, vols. 1, 2. Publ. Math. d'Orsay 81-05, 81-06, 1981.

[4] F. Loray, Pseudo-groupe d'une singularité de feuilletage holomorphe en dimension deux, 2005, preprint oai:hal.archives-ouvertes.fr:hal-00016434.

[5] B. Malgrange Travaux d'Écalle et de Martinet–Ramis sur les systèmes dynamiques, Astérisque, Volume 92–93 (1982), pp. 59-73 (Exposé 582)

[6] B. Malgrange Sommation des séries divergentes, Exp. Math., Volume 13 (1995), pp. 163-222

[7] J.-P. Ramis Séries divergentes et théories asymptotiques, Bull. Soc. Math. France (suppl.), Panoramas et Synthèses, vol. 121, Société mathématique de France, Paris, 1994 (74 p)

[8] S. Voronin Analytic classification of germs of conformal mappings (C,0)→(C,0), Funkc. Anal. Prilozh., Volume 15 (1981) no. 1, pp. 1-17 96 (in Russian). English translation: Funct. Anal. Appl., 15, 1, 1981, pp. 1-13

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