Extension des scalaires par le morphisme de Frobenius, pour les groupes réductifs

Pierre Deligne

doi:10.1016/j.crma.2018.05.005

Théorie des groupes/Géométrie algébrique

Extension des scalaires par le morphisme de Frobenius, pour les groupes réductifs
[Frobenius base change for reductive groups]

Presented by: Pierre Deligne

Pierre Deligne ¹

¹ Institute for Advanced Study, School of Mathematics, 1 Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, United States

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 7, pp. 717-719.

Abstract
Résumé

Let G be a reductive group over a field k of characteristic $p > 0$ . For $n ⩾ 0$ and $q : = p^{n}$ , let $G^{{n}}$ be deduced from G by the extension of scalars $x ⟼ x^{q} : k ⟶ k$ . If k is perfect, this keeps making sense for $n ϵ Z$ . We show that, if k is perfect, there exists $m > 0$ such that the algebraic groups G and $G^{{m}}$ over k are isomorphic. The isomorphism class of $G^{{n}}$ , as a reductive group over k, then depends only on n modulo m. For k not necessarily perfect, we show that such a periodicity remains true for n large enough.

Soit G un groupe réductif sur un corps k de caractéristique $p > 0$ . Pour n un entier ⩾0 et $q : = p^{n}$ , notons $G^{{n}}$ le groupe réductif sur k déduit de G par l'extension des scalaires $x ⟼ x^{q} : k ⟶ k$ . Si k est parfait, cette définition garde un sens pour tout entier n. Nous montrons que, si k est parfait, il existe $m > 0$ tel que les groupes algébriques G et $G^{{m}}$ soient isomorphes. La classe d'isomorphie de $G^{{n}}$ , comme groupe réductif sur k, ne dépend alors que de n modulo m. Dans le cas général, nous montrons qu'une telle périodicité reste vraie pour n assez grand.

Received: 2018-05-10
Accepted: 2018-05-16
Published online: 2018-05-24

DOI: 10.1016/j.crma.2018.05.005

Author's affiliations:

Pierre Deligne ¹

¹ Institute for Advanced Study, School of Mathematics, 1 Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, United States

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Pierre Deligne. Extension des scalaires par le morphisme de Frobenius, pour les groupes réductifs. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 7, pp. 717-719. doi : 10.1016/j.crma.2018.05.005. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2018.05.005/

References
Cited by

[1] S. Srinivasan Motivic decomposition of projective pseudo-homogeneous varieties, Transform. Groups, Volume 22 (2017) no. 4, pp. 1125-1142

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