Extension des scalaires par le morphisme de Frobenius, pour les groupes réductifs

Pierre Deligne

doi:10.1016/j.crma.2018.05.005

Théorie des groupes/Géométrie algébrique

Extension des scalaires par le morphisme de Frobenius, pour les groupes réductifs
[Frobenius base change for reductive groups]

Pierre Deligne

Pierre Deligne ¹

¹Institute for Advanced Study, School of Mathematics, 1 Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, United States

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 7, pp. 717-719

Résumé (Original language)
Abstract

Soit G un groupe réductif sur un corps k de caractéristique $p > 0$ . Pour n un entier ⩾0 et $q : = p^{n}$ , notons $G^{{n}}$ le groupe réductif sur k déduit de G par l'extension des scalaires $x ⟼ x^{q} : k ⟶ k$ . Si k est parfait, cette définition garde un sens pour tout entier n. Nous montrons que, si k est parfait, il existe $m > 0$ tel que les groupes algébriques G et $G^{{m}}$ soient isomorphes. La classe d'isomorphie de $G^{{n}}$ , comme groupe réductif sur k, ne dépend alors que de n modulo m. Dans le cas général, nous montrons qu'une telle périodicité reste vraie pour n assez grand.

Let G be a reductive group over a field k of characteristic $p > 0$ . For $n ⩾ 0$ and $q : = p^{n}$ , let $G^{{n}}$ be deduced from G by the extension of scalars $x ⟼ x^{q} : k ⟶ k$ . If k is perfect, this keeps making sense for $n ϵ Z$ . We show that, if k is perfect, there exists $m > 0$ such that the algebraic groups G and $G^{{m}}$ over k are isomorphic. The isomorphism class of $G^{{n}}$ , as a reductive group over k, then depends only on n modulo m. For k not necessarily perfect, we show that such a periodicity remains true for n large enough.

Article information
Cite this article

Received: 2018-05-10
Accepted: 2018-05-16
Published online: 2018-05-24

DOI: 10.1016/j.crma.2018.05.005

Author's affiliations:

Pierre Deligne ¹

¹ Institute for Advanced Study, School of Mathematics, 1 Einstein Drive, Princeton, NJ 08540, United States

Pierre Deligne. Extension des scalaires par le morphisme de Frobenius, pour les groupes réductifs. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 356 (2018) no. 7, pp. 717-719. doi: 10.1016/j.crma.2018.05.005

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References
Cited by

[1] S. Srinivasan Motivic decomposition of projective pseudo-homogeneous varieties, Transform. Groups, Volume 22 (2017) no. 4, pp. 1125-1142

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