Comptes Rendus
Systèmes dynamiques
On the existence of generalised syzygies in the planar three-body problem
[Sur l’existence des syzygies généralisées dans le problème plan des trois corps]
Alexei Tsygvintsev1  
1 ENS de Lyon, UMPA, 46 allée d’Italie, 69364 Lyon Cedex 07, FRANCE
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 361 (2023), pp. 331-335.

Nous considérons le problème plan des trois corps. On définit une syzygie généralisée comme une configuration où les trois corps ou leurs vitesses deviennent colinéaires. En supposant que le mouvement est borné et sans collision, nous fournissons une condition suffisante pour l’existence de telles configurations. Nos principaux outils sont élémentaires et basés sur la théorie de Sturm–Liouville.

We consider the Newtonian planar three-body problem. One defines a generalised syzygy as a configuration where the three bodies or their velocities become collinear. Assuming that the motion is bounded and collision-free, we provide a simple sufficient condition for the existence of such configurations. Our proof is elementary and uses only basic tools from the Sturm–Liouville theory.

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DOI : 10.5802/crmath.409
Classification : 92B05
Alexei Tsygvintsev 1

1 ENS de Lyon, UMPA, 46 allée d’Italie, 69364 Lyon Cedex 07, FRANCE
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits 
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[2] R. Carroll Transformation theory and application, North-Holland, 1985

[3] Alain Chenciner Non-avoided Crossings for n-Body Balanced Configurations in ℝ 3 Near a Central Configuration, Arnold Math. J., Volume 2 (2016) no. 2, pp. 213-248 | DOI | MR | Zbl

[4] Alain Chenciner; Richard Montgomery A remarkable periodic solution of the three-body problem in the case of equal masses, Ann. Math., Volume 152 (2000) no. 3, pp. 881-901 | DOI | MR | Zbl

[5] Richard Montgomery The zero angular momentum, three-body problem: All but one solution has syzygies, Ergodic Theory Dyn. Syst., Volume 27 (2007) no. 6, pp. 311-340 | DOI | MR | Zbl

[6] Richard Montgomery Oscillating about coplanarity in the 4 body problem, Invent. Math., Volume 218 (2019) no. 1, pp. 113-144 | DOI | MR | Zbl

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