On Erdős sums of almost primes

Ofir Gorodetsky; Jared Duker Lichtman; Mo Dick Wong

doi:10.5802/crmath.650

Article de recherche - Théorie des nombres

On Erdős sums of almost primes
[Sur les sommes d’Erdős de presque premiers]

Ofir Gorodetsky ^1,² ; Jared Duker Lichtman ³ ; Mo Dick Wong ⁴

¹ Mathematical Institute, University of Oxford, Oxford, OX2 6GG, UK
² Department of Mathematics, Technion – Israel Institute of Technology, Haifa 3200003, Israel
³ Department of Mathematics, Stanford University, Stanford, CA, USA
⁴ Department of Mathematical Sciences, Durham University, Stockton Road, Durham DH1 3LE, UK

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1571-1596.

Résumé
Abstract

En 1935, Erdős a prouvé que les sommes $f_{k} = \sum_{n} 1 / (n log n)$ , portant sur les entiers $n$ ayant exactement $k$ facteurs premiers, sont majorées par une constante absolue, et en 1993, Zhang a prouvé que $f_{k}$ est maximisé par la somme sur les nombres premiers $f_{1} = \sum_{p} 1 / (p log p)$ . Selon une conjecture de Banks et Martin de 2013, les sommes $f_{k}$ devraient être décroissantes en fonction de $k$ . Dans cet article, nous démontrons que les sommes restreintes aux entiers impairs sont bien décroissantes pour $k$ suffisamment grand. En revanche, contrairement à la conjecture, nous prouvons que les sommes $f_{k}$ sont croissantes en fonction de $k$ , suffisamment grand. Notre résultat principal donne une formule asymptotique pour $f_{k}$ qui identifie le terme secondaire (négatif), à savoir $f_{k} = 1 - (a + o (1)) k^{2} / 2^{k}$ pour une constante explicite $a = 0, 0656 \dots$ . Ceci est prouvé par une méthode raffinée combinant analyse réelle et complexe, alors que les résultats classiques de Sathe et Selberg sur les produits de $k$ nombres premiers impliquent l’estimation plus faible $f_{k} = 1 + O_{ε} (k^{ε - 1 / 2})$ . De plus, nous donnons un argument probabiliste alternatif, lié à la distribution de Dickman. Ici, la preuve se réduit à démontrer qu’une suite d’intégrales converge exponentiellement rapidement vers $e^{- γ}$ , ce qui peut présenter un intérêt indépendant.

In 1935, Erdős proved that the sums $f_{k} = \sum_{n} 1 / (n log n)$ , over integers $n$ with exactly $k$ prime factors, are bounded by an absolute constant, and in 1993 Zhang proved that $f_{k}$ is maximized by the prime sum $f_{1} = \sum_{p} 1 / (p log p)$ . According to a 2013 conjecture of Banks and Martin, the sums $f_{k}$ are predicted to decrease monotonically in $k$ . In this article, we show that the sums restricted to odd integers are indeed monotonically decreasing in $k$ , sufficiently large. By contrast, contrary to the conjecture we prove that the sums $f_{k}$ increase monotonically in $k$ , sufficiently large.

Our main result gives an asymptotic for $f_{k}$ which identifies the (negative) secondary term, namely $f_{k} = 1 - (a + o (1)) k^{2} / 2^{k}$ for an explicit constant $a = 0.0656 \dots$ . This is proven by a refined method combining real and complex analysis, whereas the classical results of Sathe and Selberg on products of $k$ primes imply the weaker estimate $f_{k} = 1 + O_{ε} (k^{ε - 1 / 2})$ . We also give an alternate, probability-theoretic argument related to the Dickman distribution. Here the proof reduces to showing a sequence of integrals converges exponentially quickly $e^{- γ}$ , which may be of independent interest.

Reçu le : 2023-03-14
Révisé le : 2024-04-27
Accepté le : 2024-05-12
Publié le : 2024-11-25

DOI : 10.5802/crmath.650

Classification : 11N25, 11Y60, 11A05, 60G18, 60H25
Keywords: Almost primes, primitive set, Dickman distribution, recursive distributional equation
Mots-clés : Nombres presque premiers, ensemble primitif, loi de Dickman, équation en loi récursive

Affiliations des auteurs :

Ofir Gorodetsky ^{1, 2} ; Jared Duker Lichtman ³ ; Mo Dick Wong ⁴

¹ Mathematical Institute, University of Oxford, Oxford, OX2 6GG, UK
² Department of Mathematics, Technion – Israel Institute of Technology, Haifa 3200003, Israel
³ Department of Mathematics, Stanford University, Stanford, CA, USA
⁴ Department of Mathematical Sciences, Durham University, Stockton Road, Durham DH1 3LE, UK

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Ofir Gorodetsky; Jared Duker Lichtman; Mo Dick Wong. On Erdős sums of almost primes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1571-1596. doi : 10.5802/crmath.650. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.650/

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