On Erdős sums of almost primes

Ofir Gorodetsky; Jared Duker Lichtman; Mo Dick Wong

doi:10.5802/crmath.650

Article de recherche - Théorie des nombres

On Erdős sums of almost primes
[Sur les sommes d’Erdős de presque premiers]

Ofir Gorodetsky ^1,² ; Jared Duker Lichtman ³ ; Mo Dick Wong ⁴

¹ Mathematical Institute, University of Oxford, Oxford, OX2 6GG, UK
² Department of Mathematics, Technion – Israel Institute of Technology, Haifa 3200003, Israel
³ Department of Mathematics, Stanford University, Stanford, CA, USA
⁴ Department of Mathematical Sciences, Durham University, Stockton Road, Durham DH1 3LE, UK

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1571-1596.

Résumé
Abstract

En 1935, Erdős a prouvé que les sommes $f_{k} = \sum_{n} 1 / (n log n)$ , portant sur les entiers $n$ ayant exactement $k$ facteurs premiers, sont majorées par une constante absolue, et en 1993, Zhang a prouvé que $f_{k}$ est maximisé par la somme sur les nombres premiers $f_{1} = \sum_{p} 1 / (p log p)$ . Selon une conjecture de Banks et Martin de 2013, les sommes $f_{k}$ devraient être décroissantes en fonction de $k$ . Dans cet article, nous démontrons que les sommes restreintes aux entiers impairs sont bien décroissantes pour $k$ suffisamment grand. En revanche, contrairement à la conjecture, nous prouvons que les sommes $f_{k}$ sont croissantes en fonction de $k$ , suffisamment grand. Notre résultat principal donne une formule asymptotique pour $f_{k}$ qui identifie le terme secondaire (négatif), à savoir $f_{k} = 1 - (a + o (1)) k^{2} / 2^{k}$ pour une constante explicite $a = 0, 0656 \dots$ . Ceci est prouvé par une méthode raffinée combinant analyse réelle et complexe, alors que les résultats classiques de Sathe et Selberg sur les produits de $k$ nombres premiers impliquent l’estimation plus faible $f_{k} = 1 + O_{ε} (k^{ε - 1 / 2})$ . De plus, nous donnons un argument probabiliste alternatif, lié à la distribution de Dickman. Ici, la preuve se réduit à démontrer qu’une suite d’intégrales converge exponentiellement rapidement vers $e^{- γ}$ , ce qui peut présenter un intérêt indépendant.

In 1935, Erdős proved that the sums $f_{k} = \sum_{n} 1 / (n log n)$ , over integers $n$ with exactly $k$ prime factors, are bounded by an absolute constant, and in 1993 Zhang proved that $f_{k}$ is maximized by the prime sum $f_{1} = \sum_{p} 1 / (p log p)$ . According to a 2013 conjecture of Banks and Martin, the sums $f_{k}$ are predicted to decrease monotonically in $k$ . In this article, we show that the sums restricted to odd integers are indeed monotonically decreasing in $k$ , sufficiently large. By contrast, contrary to the conjecture we prove that the sums $f_{k}$ increase monotonically in $k$ , sufficiently large.

Our main result gives an asymptotic for $f_{k}$ which identifies the (negative) secondary term, namely $f_{k} = 1 - (a + o (1)) k^{2} / 2^{k}$ for an explicit constant $a = 0.0656 \dots$ . This is proven by a refined method combining real and complex analysis, whereas the classical results of Sathe and Selberg on products of $k$ primes imply the weaker estimate $f_{k} = 1 + O_{ε} (k^{ε - 1 / 2})$ . We also give an alternate, probability-theoretic argument related to the Dickman distribution. Here the proof reduces to showing a sequence of integrals converges exponentially quickly $e^{- γ}$ , which may be of independent interest.

Reçu le : 2023-03-14
Révisé le : 2024-04-27
Accepté le : 2024-05-12
Publié le : 2024-11-25

Zbl

DOI : 10.5802/crmath.650

Classification : 11N25, 11Y60, 11A05, 60G18, 60H25
Keywords: Almost primes, primitive set, Dickman distribution, recursive distributional equation
Mots-clés : Nombres presque premiers, ensemble primitif, loi de Dickman, équation en loi récursive

Affiliations des auteurs :

Ofir Gorodetsky ^{1, 2} ; Jared Duker Lichtman ³ ; Mo Dick Wong ⁴

¹ Mathematical Institute, University of Oxford, Oxford, OX2 6GG, UK
² Department of Mathematics, Technion – Israel Institute of Technology, Haifa 3200003, Israel
³ Department of Mathematics, Stanford University, Stanford, CA, USA
⁴ Department of Mathematical Sciences, Durham University, Stockton Road, Durham DH1 3LE, UK

Licence :

CC-BY 4.0

Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits

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Ofir Gorodetsky; Jared Duker Lichtman; Mo Dick Wong. On Erdős sums of almost primes. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 362 (2024), pp. 1571-1596. doi : 10.5802/crmath.650. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.5802/crmath.650/

Bibliographie
Cité par

[1] Jonathan Bayless; Paul Kinlaw; Jared Duker Lichtman Higher Mertens constants for almost primes, J. Number Theory, Volume 234 (2022), pp. 448-475 | DOI | MR | Zbl

[2] William D. Banks; Greg Martin Optimal primitive sets with restricted primes, Integers, Volume 13 (2013), A69, 10 pages | MR | Zbl

[3] Jean-Marie-François Chamayou A probabilistic approach to a differential-difference equation arising in analytic number theory, Math. Comput., Volume 27 (1973), pp. 197-203 | DOI | MR | Zbl

[4] Tsz Ho Chan; Jared Duker Lichtman; Carl Pomerance A generalization of primitive sets and a conjecture of Erdős, Discrete Anal., Volume 2020 (2020), 16, 13 pages | DOI | MR | Zbl

[5] Tsz Ho Chan; Jared Duker Lichtman; Carl Pomerance On the critical exponent for $k$ -primitive sets, Combinatorica, Volume 42 (2022) no. 5, pp. 729-747 | DOI | MR | Zbl

[6] Paul Erdős Note on Sequences of Integers No One of Which is Divisible By Any Other, J. Lond. Math. Soc., Volume 10 (1935) no. 2, pp. 126-128 | DOI | MR | Zbl

[7] Paul Erdős; András Sárközy On the number of prime factors in integers, Acta Sci. Math., Volume 42 (1980) no. 3-4, pp. 237-246 | MR | Zbl

[8] Hsien-Kuei Hwang; Tsung-Hsi Tsai Quickselect and the Dickman function, Comb. Probab. Comput., Volume 11 (2002) no. 4, pp. 353-371 | DOI | MR | Zbl

[9] Jeffrey C. Lagarias Euler’s constant: Euler’s work and modern developments, Bull. Am. Math. Soc., Volume 50 (2013) no. 4, pp. 527-628 | DOI | MR | Zbl

[10] Jared Duker Lichtman Almost primes and the Banks–Martin conjecture, J. Number Theory, Volume 211 (2020), pp. 513-529 | DOI | MR | Zbl

[11] Jared Duker Lichtman Mertens’ prime product formula, dissected, Integers, Volume 21A (2021) no. Ron Graham Memorial Volume, A17, 15 pages | MR | Zbl

[12] Jared Duker Lichtman Translated sums of primitive sets, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Volume 360 (2022), pp. 409-414 | DOI | Numdam | MR | Zbl

[13] Jared Duker Lichtman A proof of the Erdős primitive set conjecture, Forum Math. Pi, Volume 11 (2023), e18, 21 pages | DOI | MR | Zbl

[14] Stanislav A. Molchanov; Vladimir A. Panov The Dickman–Goncharov distribution, Russ. Math. Surv., Volume 75 (2020) no. 6, pp. 1089-1132 | DOI | Zbl

[15] Mathew D. Penrose; Andrew R. Wade Random minimal directed spanning trees and Dickman-type distributions, Adv. Appl. Probab., Volume 36 (2004) no. 3, pp. 691-714 | DOI | MR | Zbl

[16] Zhen Xiang Zhang On a problem of Erdős concerning primitive sequences, Math. Comput., Volume 60 (1993) no. 202, pp. 827-834 | DOI | MR | Zbl

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