[Nouvelles fonctions propres pour la partie négative du spectre prolate de Connes–Moscovici]
In 1880, C. Niven, motivated by a problem of conduction of heat, studied the Helmoltz equation on a spheroid. We consider only the prolate spheroid case. There is a separation of variables of the Laplacian in corresponding spheroidal coordinates which is adapted to the problem. Then we get three ordinary differential equations. One is elementary. In the non spherical case, the two others are two copies of the same equation. This equation is called the prolate spheroidal equation. In 1998 Alain Connes discovered a self-adjoint extension $W_{\Lambda ,\mathrm{sa}}$ of the prolate operator (of order zero) $W_{\Lambda }$. In 2021 Alain Connes and Henri Moscovici discovered that the restriction of $W_{\Lambda ,\mathrm{sa}}$ to the complement of the finite interval $[-\Lambda ,\Lambda ]$ admits (besides a replica of the classical positive spectrum) negative eigenvalues whose ultraviolet behavior reproduces, for $\Lambda =\sqrt{2}$, that of the squares of the (shifted) zeros of the Riemann zeta function. In this note we use an approach different from the CM approach. It is based on complex analytic functions in place of Sturm–Liouville theory. In particular we introduce a (new) theory of analytic spectra. This allows in particular for an explicit definition of spectral determinants which are entire functions of order $\le 1/2$ whose zeros are the eigenvalues. An accurate computation of these eigenvalues follows. We also discovered a new equivalent definition, very simple, of the non classical part of the CM spectrum. The corresponding eigenvalues are the naive eigenvalues of the operator on the imaginary axis (that is the eigenfunctions are bounded on this axis). We prove that they are negative, which was conjectured by Connes and Moscovici, and we obtain a very quick and efficient method of computation of these eigenvalues.
En 1880, C. Niven, motivé par un problème de conduction de la chaleur, a étudié l’équation de Helmoltz sur un ellipsoïde de révolution. Nous considérons seulement le cas d’un ellipsoïde allongé (prolate). Les coordonnées sphéroïdales correspondantes conduisent à une séparation du laplacien adaptée au problème. On obtient ainsi trois équations différentielles ordinaires. L’une est élémentaire. Dans le cas non sphérique, les deux autres sont deux copies de la même équation. Celle-ci est appelée prolate sphéroïdale. En 1998, Alain Connes a découvert une extension auto-adjointe $W_{\Lambda ,\mathrm{sa}}$ de l’opérateur prolate (d’ordre zero) $W_{\Lambda }$. En 2021, Alain Connes et Henri Moscovici ont découvert que la restriction de $W_{\Lambda ,\mathrm{sa}}$ au complément de l’intervalle fini $[-\Lambda ,\Lambda ]$ admet (à côté d’une copie du spectre classique, qui est positif) des valeurs propres négatives dont le comportement ultraviolet reproduit, pour $\Lambda =\sqrt{2}$, celui des carrés des zéros (décalés) de la fonction zeta de Riemann. Dans cette note nous utilisons une approche différente de celle de CM. À la place de la théorie de Sturm–Liouville nous utilisons la théorie des fonctions analytiques. Ceci nous permet en particulier de définir explicitement des déterminants spectraux qui sont des fonctions entières d’ordre $\le 1/2$ dont les zéros sont les valeurs propres. Nous en déduisons un calcul numérique efficace de ces valeurs propres. Nous avons aussi découvert une nouvelle définition, équivalente mais très simple, de la partie non-classique du spectre CM. Les valeurs propres correspondantes sont les valeurs propres naïves de l’opérateur sur l’axe imaginaire (c’est-à-dire que les fonctions propres sont bornées sur cet axe). Nous montrons que ces valeurs propres sont négatives, ce qui avait été conjecturé par Connes et Moscovici, et nous obtenons une méthode très rapide et très efficace de calcul de ces valeurs propres.
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Jean-Pierre Ramis 1, 2 ; Françoise Richard-Jung 3 ; Jean Thomann 4
CC-BY 4.0
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