Comptes Rendus
Article de recherche - Géométrie algébrique, Combinatoire
Toric Schubert varieties and directed Dynkin diagrams
[Variétés de Schubert toriques et diagrammes de Dynkin dirigés]
Eunjeong Lee1 orcid  ; Mikiya Masuda2 orcid  ; Seonjeong Park3 orcid
1Department of Mathematics, Chungbuk National University, Cheongju 28644, Republic of Korea
2Osaka Central Advanced Mathematics Institute (OCAMI), Osaka Metropolitan University, Sumiyoshi-ku, Sugimoto, 558-8585, Osaka, Japan
3Department of Mathematics Education, Jeonju University, Jeonju 55069, Republic of Korea
Comptes Rendus. Mathématique, Volume 364 (2026), pp. 501-527

A flag variety is a smooth projective homogeneous variety $G/B$, where $G$ is a simple algebraic group over the complex numbers and $B$ is a Borel subgroup of $G$. A Schubert variety $X_w$ is a subvariety of $G/B$ indexed by an element $w$ of the Weyl group of $G$. It is called toric if it is a toric variety with respect to the action of the maximal torus $T \subset B$. In this paper, we associate an edge-labeled digraph $\mathcal{G}_w$ to a toric Schubert variety $X_w$ and classify toric Schubert varieties up to isomorphism. We also give a simple criterion for when a toric Schubert variety $X_w$ is (weak) Fano in terms of $\mathcal{G}_w$. Finally, we discuss whether toric Schubert varieties can be distinguished by their integral cohomology rings up to isomorphism and show that this holds when $G$ is simply-laced.

Une variété de drapeaux est une variété homogène $G/B$, où $G$ est un groupe algébrique simple sur $\mathbb{C}$ et $B$ un sous-groupe de Borel de $G$. Une variété de Schubert $X_w$ est une sous-variété de $G/B$ indexée par un élément $w$ du groupe de Weyl de $G$. On dit qu’elle est torique si elle est une variété torique pour l’action du tore maximal $T\subset B$. Dans cet article, nous associons à une variété de Schubert torique $X_w$ un digraphe à arêtes étiquetées $\mathcal{G}_w$ et nous classifions les variétés de Schubert toriques à isomorphisme près. Nous donnons également un critère simple pour déterminer quand $X_w$ est (faiblement) Fano en termes de $\mathcal{G}_w$. Enfin, nous discutons si les variétés de Schubert toriques peuvent être distinguées par leurs anneaux de cohomologie entière (à isomorphisme près) et montrons que c’est le cas lorsque $G$ est de type simplement lacé.

Reçu le :
Révisé le :
Accepté le :
Publié le :
DOI : 10.5802/crmath.838
Classification : 14M25, 14M15, 57S12, 05A05
Keywords: Schubert varieties, toric varieties, Bott manifolds, cohomological rigidity
Mots-clés : Variétés de Schubert, variétés toriques, variétés de Bott, rigidité cohomologique

Eunjeong Lee  1   ; Mikiya Masuda  2   ; Seonjeong Park  3

1 Department of Mathematics, Chungbuk National University, Cheongju 28644, Republic of Korea
2 Osaka Central Advanced Mathematics Institute (OCAMI), Osaka Metropolitan University, Sumiyoshi-ku, Sugimoto, 558-8585, Osaka, Japan
3 Department of Mathematics Education, Jeonju University, Jeonju 55069, Republic of Korea
Licence : CC-BY 4.0
Droits d'auteur : Les auteurs conservent leurs droits
Eunjeong Lee; Mikiya Masuda; Seonjeong Park. Toric Schubert varieties and directed Dynkin diagrams. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 364 (2026), pp. 501-527. doi: 10.5802/crmath.838
@article{CRMATH_2026__364_G3_501_0,
     author = {Eunjeong Lee and Mikiya Masuda and Seonjeong Park},
     title = {Toric {Schubert} varieties and directed {Dynkin} diagrams},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {501--527},
     year = {2026},
     publisher = {Acad\'emie des sciences, Paris},
     volume = {364},
     doi = {10.5802/crmath.838},
     language = {en},
}
TY  - JOUR
AU  - Eunjeong Lee
AU  - Mikiya Masuda
AU  - Seonjeong Park
TI  - Toric Schubert varieties and directed Dynkin diagrams
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2026
SP  - 501
EP  - 527
VL  - 364
PB  - Académie des sciences, Paris
DO  - 10.5802/crmath.838
LA  - en
ID  - CRMATH_2026__364_G3_501_0
ER  - 
%0 Journal Article
%A Eunjeong Lee
%A Mikiya Masuda
%A Seonjeong Park
%T Toric Schubert varieties and directed Dynkin diagrams
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2026
%P 501-527
%V 364
%I Académie des sciences, Paris
%R 10.5802/crmath.838
%G en
%F CRMATH_2026__364_G3_501_0

[1] Victor V. Batyrev On the classification of toric Fano 4-folds, J. Math. Sci., New York, Volume 94 (1999) no. 1, pp. 1021-1050 (Algebraic geometry, 9) | DOI | MR

[2] Florian Berchtold Lifting of morphisms to quotient presentations, Manuscr. Math., Volume 110 (2003) no. 1, pp. 33-44 | DOI | MR

[3] Anders Björner; Francesco Brenti Combinatorics of Coxeter groups, Graduate Texts in Mathematics, 231, Springer, 2005 | MR | Zbl

[4] Suyoung Choi; Taekgyu Hwang; Hyeontae Jang Strong cohomological rigidity of Bott manifolds, Adv. Math., Volume 473 (2025), 110305, 16 pages | DOI | MR

[5] Suyoung Choi; Mikiya Masuda Classification of ℚ-trivial Bott manifolds, J. Symplectic Geom., Volume 10 (2012) no. 3, pp. 447-461 | MR | Zbl | DOI

[6] Suyoung Choi; Mikiya Masuda; Sang-il Oum Classification of real Bott manifolds and acyclic digraphs, Trans. Am. Math. Soc., Volume 369 (2017) no. 4, pp. 2987-3011 | DOI | MR

[7] David A. Cox; John B. Little; Henry K. Schenck Toric varieties, Graduate Studies in Mathematics, 124, American Mathematical Society, 2011 | DOI | MR | Zbl

[8] C. Kenneth Fan Schubert varieties and short braidedness, Transform. Groups, Volume 3 (1998) no. 1, pp. 51-56 | DOI | MR

[9] Michael Grossberg; Yael Karshon Bott towers, complete integrability, and the extended character of representations, Duke Math. J., Volume 76 (1994) no. 1, pp. 23-58 | DOI | MR

[10] James E. Humphreys Introduction to Lie algebras and representation theory, Graduate Texts in Mathematics, 9, Springer, 1978 | MR

[11] Jerzy Jurkiewicz Torus embeddings, polyhedra, k * -actions and homology, Diss. Math., Volume 236 (1985) | MR | Zbl

[12] Paramasamy Karuppuchamy On Schubert varieties, Commun. Algebra, Volume 41 (2013) no. 4, pp. 1365-1368 | DOI | MR

[13] Eunjeong Lee; Mikiya Masuda; Seonjeong Park Torus orbit closures in the flag variety, Handbook of Combinatorial Algebraic Geometry (Erik Insko; Martha Precup; Edward Richmond, eds.), Routledge, 2026

[14] Mikiya Masuda; Taras E. Panov Semi-free circle actions, Bott towers, and quasitoric manifolds, Mat. Sb., Volume 199 (2008) no. 8, pp. 95-122 | DOI | MR

[15] Tadao Oda Convex bodies and algebraic geometry, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge, 15, Springer, 1988 | MR | Zbl

[16] Edward Richmond; William Slofstra The isomorphism problem for Schubert varieties (2021) | arXiv

Cité par Sources :

Commentaires - Politique