Degree and class of caustics by reflection for a generic source

Alfrederic Josse; Françoise Pène

doi:10.1016/j.crma.2013.04.019

Algebraic Geometry

Degree and class of caustics by reflection for a generic source
[Degré et classe des caustiques par réflexion pour une source générique]

Présenté par : the Editorial Board

Alfrederic Josse ¹ ; Françoise Pène ¹

¹ LMBA UMR 6205, Université de Brest, 6 avenue Victor-Le-Gorgeu, CS 93837, 29238 Brest cedex 3, France

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 7-8, pp. 295-297.

Abstract (VO)
Résumé

Given any irreducible algebraic (mirror) curve $C \subseteq P^{2} : = P^{2} (C)$ and any (light position) $S \in P^{2}$ , the caustic by reflection $Σ_{S} (C)$ of $C$ from S is the Zariski closure of the envelope of the reflected lines got from the lines coming from S after reflection on $C$ . In Josse and Pène (forthcoming [7] and preprint [8]), we established formulas for the degree and class (with multiplicity) of $Σ_{S} (C)$ for any $C$ and any S. In this paper, we prove the birationality of the caustic map for a generic S in $P^{2}$ . Moreover, we give simple formulas for the degree and class (without multiplicity) of $Σ_{S} (C)$ for any $C$ and for a generic S in $P^{2}$ .

Étant donnés une courbe algébrique irréductible $C \subseteq P^{2} : = P^{2} (C)$ (miroir) et une position $S \in P^{2}$ (position de la source lumineuse), la caustique par réflexion $Σ_{S} (C)$ de $C$ issue de S est lʼadhérence de Zariski de lʼenveloppe des droites réfléchies obtenues à partir des droites issues de S après réflexion sur $C$ . Dans Josse et Pène (forthcoming [7] et preprint [8]), nous avons établi des formules pour le degré et la classe (avec multiplicité) de $Σ_{S} (C)$ valables pour toute courbe $C$ et tout S. Lʼobjet de la présente note est de prouver la birationnalité de lʼapplication caustique (pour un S générique dans $P^{2}$ ) et de donner des formules simples pour le degré et la classe (sans multiplicité) de $Σ_{S} (C)$ pour toute courbe $C$ et pour un S générique dans $P^{2}$ .

Reçu le : 2013-01-09
Accepté le : 2013-04-19
Publié le : 2013-04-01

DOI : 10.1016/j.crma.2013.04.019

Affiliations des auteurs :

Alfrederic Josse ¹ ; Françoise Pène ¹

¹ LMBA UMR 6205, Université de Brest, 6 avenue Victor-Le-Gorgeu, CS 93837, 29238 Brest cedex 3, France

@article{CRMATH_2013__351_7-8_295_0,
     author = {Alfrederic Josse and Fran\c{c}oise P\`ene},
     title = {Degree and class of caustics by reflection for a generic source},
     journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
     pages = {295--297},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {351},
     number = {7-8},
     year = {2013},
     doi = {10.1016/j.crma.2013.04.019},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Alfrederic Josse
AU  - Françoise Pène
TI  - Degree and class of caustics by reflection for a generic source
JO  - Comptes Rendus. Mathématique
PY  - 2013
SP  - 295
EP  - 297
VL  - 351
IS  - 7-8
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/j.crma.2013.04.019
LA  - en
ID  - CRMATH_2013__351_7-8_295_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Alfrederic Josse
%A Françoise Pène
%T Degree and class of caustics by reflection for a generic source
%J Comptes Rendus. Mathématique
%D 2013
%P 295-297
%V 351
%N 7-8
%I Elsevier
%R 10.1016/j.crma.2013.04.019
%G en
%F CRMATH_2013__351_7-8_295_0

Alfrederic Josse; Françoise Pène. Degree and class of caustics by reflection for a generic source. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 351 (2013) no. 7-8, pp. 295-297. doi : 10.1016/j.crma.2013.04.019. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2013.04.019/

Bibliographie
Cité par

[1] H. Brocard; T. Lemoyne Courbes géométriques remarquables. Courbes spéciales planes et gauches. Tome I, Nouveau tirage Librairie Scientifique et Technique Albert Blanchard, Paris, 1967 viii+451 pp. (in French)

[2] F. Catanese; C. Trifogli Focal loci of algebraic varieties. I. Special issue in honor of Robin Hartshorne, Commun. Algebra, Volume 28 (2000) no. 12, pp. 6017-6057

[3] M. Chasles Détermination, par le principe des correspondances, de la classe de la développée et de la caustique par réflexion dʼune courbe géométrique dʼordre m et de classe n, Nouv. Ann. Math. 2 ser., Volume 10 (1871), pp. 97-104 (extrait C. R. séances A. S. t. LXII)

[4] G.P. Dandelin, Notes sur les caustiques par réflexion, 1822.

[5] B. Fantechi The Evolute of a Plane Algebraic Curve, UTM, vol. 408, University of Trento, Italy, 1992

[6] W. Fulton Intersection Theory, Springer-Verlag, 1998

[7] A. Josse; F. Pène On the degree of caustics by reflection, Commun. Algebra (2013) (forthcoming)

[8] A. Josse; F. Pène On the class of caustics by reflection (preprint) | arXiv

[9] L.A.J. Quetelet Énoncés de quelques théorèmes nouveaux sur les caustiques, C. G. Q., Volume 1 (1828), p. 14 (147–149)

[10] G. Salmon A Treatise on the Higher Plane Curves: Intended as a Sequel to a Treatise on Conic Sections, Elibron Classics, 1934

[11] C. Trifogli Focal loci of algebraic hypersurfaces: a general theory, Geom. Dedic., Volume 70 (1998), pp. 1-26

Cité par Sources :

Commentaires - Politique