Numerical simulation of corner singularities: a paradox in Maxwell-like problems

Christophe Hazard

doi:10.1016/S1631-0721(02)01425-0

Numerical simulation of corner singularities: a paradox in Maxwell-like problems
[Simulation numérique de singularités de coins: un paradoxe pour les équations de Maxwell]

Christophe Hazard ¹

¹ École nationale supérieure de techniques avancées, Laboratoire de simulation et modélisation des phénomènes de propagation: ENSTA/SMP, 32, boulevard Victor, 75739 Paris cedex 15, France

Comptes Rendus. Mécanique, Volume 330 (2002) no. 1, pp. 57-68.

Résumé
Abstract

Cet article résume des travaux récents concernant la résolution numérique de problèmes aux limites dérivant des équations de Maxwell. Ces travaux mettent en lumière les origines théoriques du « paradoxe des coins » constaté numériquement depuis des années : dans un domaine entouré par un conducteur parfait, une discrétisation par éléments finis « nodaux » ne permet d'approcher le champ électromagnétique que si le domaine ne possède pas de coins rentrants. L'explication réside dans une curiosité mathématique : deux interprétations distinctes d'une même équation variationnelle, qui mènent soit à la solution physique, soit à une solution parasite ! Deux stratégies proposées récemment pour parer à cet inconvénient des éléments nodaux sont décrites.

This paper sums up some recent studies related to the numerical solution of boundary value problems deriving from Maxwell's equations. These studies bring to light the theoretical origins of the ‘corner paradox’ pointed out by numerical experiments for years: In a domain surrounded by a perfect conductor, a ‘nodal’ discretization can approximate the electromagnetic field only if the domain has no reentrant corners or edges. The explanation lies in a mathematical curiosity: two different interpretations of the same variational equation, which are both well-posed and lead either to the physical or a spurious solution! Two strategies which were recently proposed to remedy this flaw of nodal elements are described.

Reçu le : 2001-09-24
Accepté le : 2001-12-04
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-0721(02)01425-0

Keywords: computational fluid mechanics, Maxwell's equations, singularities of solutions, finite elements
Mot clés : mécanique des fluides numérique, équations de Maxwell, singularités de solutions, éléments finis

Affiliations des auteurs :

Christophe Hazard ¹

¹ École nationale supérieure de techniques avancées, Laboratoire de simulation et modélisation des phénomènes de propagation: ENSTA/SMP, 32, boulevard Victor, 75739 Paris cedex 15, France

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Christophe Hazard. Numerical simulation of corner singularities: a paradox in Maxwell-like problems. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 330 (2002) no. 1, pp. 57-68. doi : 10.1016/S1631-0721(02)01425-0. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/S1631-0721(02)01425-0/

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