Numerical simulation of corner singularities: a paradox in Maxwell-like problems

Christophe Hazard

doi:10.1016/S1631-0721(02)01425-0

Numerical simulation of corner singularities: a paradox in Maxwell-like problems
[Simulation numérique de singularités de coins: un paradoxe pour les équations de Maxwell]

Christophe Hazard ¹

¹ École nationale supérieure de techniques avancées, Laboratoire de simulation et modélisation des phénomènes de propagation: ENSTA/SMP, 32, boulevard Victor, 75739 Paris cedex 15, France

Comptes Rendus. Mécanique, Volume 330 (2002) no. 1, pp. 57-68.

Résumé
Abstract

Cet article résume des travaux récents concernant la résolution numérique de problèmes aux limites dérivant des équations de Maxwell. Ces travaux mettent en lumière les origines théoriques du « paradoxe des coins » constaté numériquement depuis des années : dans un domaine entouré par un conducteur parfait, une discrétisation par éléments finis « nodaux » ne permet d'approcher le champ électromagnétique que si le domaine ne possède pas de coins rentrants. L'explication réside dans une curiosité mathématique : deux interprétations distinctes d'une même équation variationnelle, qui mènent soit à la solution physique, soit à une solution parasite ! Deux stratégies proposées récemment pour parer à cet inconvénient des éléments nodaux sont décrites.

This paper sums up some recent studies related to the numerical solution of boundary value problems deriving from Maxwell's equations. These studies bring to light the theoretical origins of the ‘corner paradox’ pointed out by numerical experiments for years: In a domain surrounded by a perfect conductor, a ‘nodal’ discretization can approximate the electromagnetic field only if the domain has no reentrant corners or edges. The explanation lies in a mathematical curiosity: two different interpretations of the same variational equation, which are both well-posed and lead either to the physical or a spurious solution! Two strategies which were recently proposed to remedy this flaw of nodal elements are described.

Reçu le : 2001-09-24
Accepté le : 2001-12-04
Publié le : 2002-01-01

DOI : 10.1016/S1631-0721(02)01425-0

Keywords: computational fluid mechanics, Maxwell's equations, singularities of solutions, finite elements
Mots-clés : mécanique des fluides numérique, équations de Maxwell, singularités de solutions, éléments finis

Affiliations des auteurs :

Christophe Hazard ¹

¹ École nationale supérieure de techniques avancées, Laboratoire de simulation et modélisation des phénomènes de propagation: ENSTA/SMP, 32, boulevard Victor, 75739 Paris cedex 15, France

@article{CRMECA_2002__330_1_57_0,
     author = {Christophe Hazard},
     title = {Numerical simulation of corner singularities: a paradox in {Maxwell-like} problems},
     journal = {Comptes Rendus. M\'ecanique},
     pages = {57--68},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {330},
     number = {1},
     year = {2002},
     doi = {10.1016/S1631-0721(02)01425-0},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Christophe Hazard
TI  - Numerical simulation of corner singularities: a paradox in Maxwell-like problems
JO  - Comptes Rendus. Mécanique
PY  - 2002
SP  - 57
EP  - 68
VL  - 330
IS  - 1
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/S1631-0721(02)01425-0
LA  - en
ID  - CRMECA_2002__330_1_57_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Christophe Hazard
%T Numerical simulation of corner singularities: a paradox in Maxwell-like problems
%J Comptes Rendus. Mécanique
%D 2002
%P 57-68
%V 330
%N 1
%I Elsevier
%R 10.1016/S1631-0721(02)01425-0
%G en
%F CRMECA_2002__330_1_57_0

Christophe Hazard. Numerical simulation of corner singularities: a paradox in Maxwell-like problems. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 330 (2002) no. 1, pp. 57-68. doi : 10.1016/S1631-0721(02)01425-0. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/S1631-0721(02)01425-0/

Bibliographie
Cité par

[1] M. Costabel; M. Dauge Singularités des équations de Maxwell dans un polyèdre, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 324 (1997), pp. 1005-1010

[2] H. Blum; M. Dobrowolski On finite element methods for elliptic equations on domains with corners, Computing, Volume 28 (1982), pp. 53-63

[3] C. Weber A local compactness theorem for Maxwell's equations, Math. Methods Appl. Sci., Volume 2 (1980), pp. 12-25

[4] M. Costabel A remark on the regularity of the solutions of Maxwell's equations on Lipschitz domains, Math. Methods Appl. Sci., Volume 12 (1990), pp. 365-368

[5] V. Girault; P.A. Raviart Finite Element Methods for Navier–Stokes Equations, Springer-Verlag, Berlin, 1986

[6] F. Brezzi; M. Fortin Mixed and Hybrid Finite Element Methods, Springer-Verlag, Berlin, 1991

[7] J.C. Nédélec Mixed finite element in $ℝ^{3}$ , Numer. Math., Volume 35 (1980), pp. 315-341

[8] J.C. Nédélec A new family of mixed finite element in $ℝ^{3}$ , Numer. Math., Volume 50 (1986), pp. 57-81

[9] M. Costabel A coercive bilinear form for Maxwell's equations, J. Math. Anal. Appl., Volume 157 (1991), pp. 527-541

[10] A.-S. Bonnet Ben Dhia; C. Hazard; S. Lohrengel A singular field method for the solution of Maxwell's equations in polyhedral domains, SIAM J. Appl. Math., Volume 59 (1999), pp. 2028-2044

[11] P. Grisvard Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, London, 1985

[12] P. Grisvard Singularities in Boundary Value Problems, Masson, Paris, 1992

[13] M. Dauge Elliptic Boundary Value Problems on Corner Domains, Lecture Notes in Math., 1341, Springer-Verlag, Berlin, 1988

[14] F. Assous; P. Ciarlet Une caractérisation de l'orthogonal de $Δ (H^{2} (Ω) \cap H_{0}^{1} (Ω))$ dans $L^{2} (Ω)$ , C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 325 (1997), pp. 605-610

[15] M.Sh. Birman; M.Z. Solomyak L₂-theory of the Maxwell operator in arbitrary domains, Uspekhi Mat. Nauk, Volume 42 (1987), pp. 61-76 English translation: Russian Math. Surveys 42 (1987) 75–96

[16] M. Costabel; M. Dauge Singularities of electromagnetic fields in polyhedral domains, Arch. Rational Mech. Anal., Volume 151 (2000), pp. 221-276

[17] F. Assous; P. Ciarlet; P.-A. Raviart; E. Sonnendrücker Characterization of the singular part of the solution of Maxwell's equations in a polyhedral domain, Math. Methods Appl. Sci., Volume 22 (1999), pp. 485-499

[18] U. Kangro; R. Nicolaides Divergence boundary conditions for vector Helmholtz equations with divergence constraints, Math. Models Numer. Anal., Volume 33 (1999), pp. 479-492

[19] F. Assous; P. Ciarlet; E. Sonnendrücker Resolution of the Maxwell equations in a domain with reentrant corners, Math. Models Numer. Anal., Volume 32 (1998), pp. 359-389

[20] F. Assous; P. Ciarlet; J. Segré Numerical solution to the time-dependent Maxwell equations in two-dimensional singular domains: the singular complement method, J. Comput. Phys., Volume 161 (2000), pp. 218-249

[21] C. Hazard; M. Lenoir On the solution of time-harmonic scattering problems for Maxwell's equations, SIAM J. Math. Anal., Volume 27 (1996), pp. 1597-1630

[22] Lohrengel S., Étude mathématique et résolution numérique des équations de Maxwell dans un domaine non régulier, Thesis, Université Paris VI, 1998

[23] Hazard C., Lohrengel S., A singular field method for Maxwell's equations: numerical aspects in two dimensions, Preprint 595, Laboratoire J.A. Dieudonné, Université de Nice-Sophia Antipolis, 2000, submitted to SIAM J. Numer. Anal

[24] F. Assous; P. Ciarlet; E. Garcia Résolution des équations de Maxwell instationnaires avec charges dans un domaine singulier bidimensionnel, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 330 (2000), pp. 391-396

[25] F. Assous; P. Ciarlet; E. Garcia Numerical solution to maxwell equations in singular domains: the singular complement method (A. Bermúdez; D. Gómez; C. Hazard; P. Joly; J.E. Roberts, eds.), Mathematical and Numerical Aspects of Wave Propagation, SIAM, Philadelphia, 2000

[26] Garcia E., Résolution des équations de Maxwell instationnaires dans des domaines non convexes, la méthode du complément singulier, Thesis, Université de Paris VI (to appear)

[27] Costabel M., Dauge M., Weighted regularization of Maxwell equations in polyhedral domains, Preprint IRMAR 01-26, Université de Rennes, 2001

[28] M. Costabel; M. Dauge; S. Nicaise Singularities of Maxwell interface problems, Math. Models Numer. Anal., Volume 33 (1999), pp. 627-649

[29] Filonov N., Système de Maxwell dans les domaines singuliers, Thesis, Université de Bordeaux I, 1996

[30] Assous F., Ciarlet P. Jr., Labrunie S., Theoretical tools to solve the axisymmetric Maxwell equations, Math. Meth. Appl. Sci. (to appear)

[31] P. Ciarlet; C. Hazard; S. Lohrengel Les équations de Maxwell dans un polyèdre: un résultat de densité, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 326 (1998), pp. 1305-1310

[32] M. Costabel; M. Dauge Un résultat de densité pour les équations de Maxwell régularisées dans un domaine lipschitzien, C. R. Acad. Sci. Paris, Série I, Volume 327 (1998), pp. 849-854

[33] M. Costabel; M. Dauge; M. Martin Proceeding of Enumath'99, Jyväskylä, Finland, 1999

[34] I. Babuška; J. Pitkäranta The plate paradox for hard and soft simple support, SIAM J. Math. Anal., Volume 21 (1990), pp. 551-576

[35] M. Costabel; M. Dauge Maxwell and Lamé eigenvalues on polyhedra, Math. Methods Appl. Sci., Volume 22 (1999), pp. 243-258

[36] A.-S. Bonnet-Ben Dhia; G. Legendre; E. Luneville Analyse mathématique de l'équation de Galbrun en écoulement uniforme, C. R. Acad. Sci. Paris, Série IIb, Volume 329 (2001), pp. 601-606

Cité par Sources :

Commentaires - Politique