Asymptotics for the eigenelements of vibrating membranes with very heavy thin inclusions

Yuri Golovaty; Delfina Gómez; Miguel Lobo; Eugenia Pérez

doi:10.1016/S1631-0721(02)01531-0

Asymptotics for the eigenelements of vibrating membranes with very heavy thin inclusions
[Comportement asymptotique des éléments propres pour des membranes vibrantes avec des couches très minces et très lourdes]

Yuri Golovaty ¹ ; Delfina Gómez ² ; Miguel Lobo ² ; Eugenia Pérez ³

¹ Department of Mechanics and Mathematics, Franko Lviv National University, Lviv, Ukraine
² Departamento de Matemáticas, Estadı́stica y Computación, Universidad de Cantabria, Avenida de los Castros s/n, 39005 Santander, Spain
³ Departamento de Matemática Aplicada y Ciencias de la Computación, Universidad de Cantabria, Avenida de los Castros s/n, 39005 Santander, Spain

Comptes Rendus. Mécanique, Volume 330 (2002) no. 11, pp. 777-782.

Résumé
Abstract

On considère les vibrations d'une membrane qui contient une très mince et très lourde inclusion placée autour d'une courbe γ. On suppose que la membrane occupe un domaine $Ω \subset ℝ^{2}$ , tandis que l'inclusion occupe une couche $ω_{ϵ} \subset Ω$ de largeur 2ε, la densité étant d'ordre O(ε⁻³). La densité est d'ordre O(1) en dehors de la petite inclusion : la masse est concentrée autour de γ. ε est un petit paramètre, ε∈(0,1). À l'aide des développements asymptotiques, nous décrivons le comportement, pour ε→0, des éléments propres (λ^ε,u^ε) du problème spectral associé. En fait, nous obtenons les séries asymptotiques complètes pour les basses fréquences λ^ε=O(ε²) et les moyennes fréquences λ^ε=O(ε), ainsi que les fonctions propres correspondantes u^ε.

We consider the vibrations of a membrane that contains a very thin and heavy inclusion around a curve γ. We assume that the membrane occupies a domain $Ω$ of $ℝ^{2}$ . The inclusion occupies a layer-like domain $ω_{ϵ} \subset Ω$ of width 2ε and it has a density of order O(ε⁻³). The density is of order O(1) outside this inclusion, the concentrated mass around the curve γ. ε is a positive parameter, ε∈(0,1). By means of asymptotic expansions, we describe the behaviour, as ε→0, of the eigenelements (λ^ε,u^ε) of the associated spectral problem. We provide complete asymptotic series for the low frequencies λ^ε=O(ε²), the medium frequencies λ^ε=O(ε) and the corresponding eigenfunctions u^ε.

Reçu le : 2002-08-27
Révisé le : 2002-10-01
Publié le : 2002-10-24

DOI : 10.1016/S1631-0721(02)01531-0

Keywords: vibrations, concentrated masses, spectral analysis, low frequencies, medium frequencies
Mot clés : vibrations, masses concentrées, analyse spectrale, basses fréquences, moyennes fréquences

Affiliations des auteurs :

Yuri Golovaty ¹ ; Delfina Gómez ² ; Miguel Lobo ² ; Eugenia Pérez ³

@article{CRMECA_2002__330_11_777_0,
     author = {Yuri Golovaty and Delfina G\'omez and Miguel Lobo and Eugenia P\'erez},
     title = {Asymptotics for the eigenelements of vibrating membranes with very heavy thin inclusions},
     journal = {Comptes Rendus. M\'ecanique},
     pages = {777--782},
     publisher = {Elsevier},
     volume = {330},
     number = {11},
     year = {2002},
     doi = {10.1016/S1631-0721(02)01531-0},
     language = {en},
}

TY  - JOUR
AU  - Yuri Golovaty
AU  - Delfina Gómez
AU  - Miguel Lobo
AU  - Eugenia Pérez
TI  - Asymptotics for the eigenelements of vibrating membranes with very heavy thin inclusions
JO  - Comptes Rendus. Mécanique
PY  - 2002
SP  - 777
EP  - 782
VL  - 330
IS  - 11
PB  - Elsevier
DO  - 10.1016/S1631-0721(02)01531-0
LA  - en
ID  - CRMECA_2002__330_11_777_0
ER  -

%0 Journal Article
%A Yuri Golovaty
%A Delfina Gómez
%A Miguel Lobo
%A Eugenia Pérez
%T Asymptotics for the eigenelements of vibrating membranes with very heavy thin inclusions
%J Comptes Rendus. Mécanique
%D 2002
%P 777-782
%V 330
%N 11
%I Elsevier
%R 10.1016/S1631-0721(02)01531-0
%G en
%F CRMECA_2002__330_11_777_0

Yuri Golovaty; Delfina Gómez; Miguel Lobo; Eugenia Pérez. Asymptotics for the eigenelements of vibrating membranes with very heavy thin inclusions. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 330 (2002) no. 11, pp. 777-782. doi : 10.1016/S1631-0721(02)01531-0. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/S1631-0721(02)01531-0/

Bibliographie
Cité par

[1] M. Lobo; E. Pérez Vibrations of a membrane with many concentrated masses near the boundary, Math. Models Methods Appl. Sci, Volume 5 (1995) no. 5, pp. 565-585

[2] O.A. Oleinik; A.S. Shamaev; G.A. Yosifian Mathematical Problems in Elasticity and Homogenization, North-Holland, London, 1992

[3] J. Sanchez-Hubert; E. Sanchez-Palencia Vibration and Coupling of Continuous Systems. Asymptotic Methods, Springer-Verlag, Heidelberg, 1989

[4] Yu.D. Golovaty; A.S. Lavrenyuk Asymptotic expansions of local eigenvibrations for plate with density perturbed in neighbourhood of one-dimensional manifold, Mat. Studii, Volume 13 (2000) no. 1, pp. 51-62

[5] H. Tchatat, Perturbations Spectrales pour des Systèmes avec Masses Concentrées, Thése 3eme cycle, Université Pierre et Marie Curie, Paris VI, Paris, 1984

[6] Yu.D. Golovaty, D. Gómez, M. Lobo, E. Pérez, Vibrating membranes with very thin heavy inclusions around curves, in preparation

Cité par Sources :

Commentaires - Politique

Ces articles pourraient vous intéresser

Local problems for vibrating systems with concentrated masses: a review

Miguel Lobo; Eugenia Pérez

C. R. Méca (2003)

New asymptotic effects for the spectrum of problems on concentrated masses near the boundary

Sergey A. Nazarov; Eugenia Pérez

C. R. Méca (2009)