Asymptotics for the eigenelements of vibrating membranes with very heavy thin inclusions

Yuri Golovaty; Delfina Gómez; Miguel Lobo; Eugenia Pérez

doi:10.1016/S1631-0721(02)01531-0

Asymptotics for the eigenelements of vibrating membranes with very heavy thin inclusions
[Comportement asymptotique des éléments propres pour des membranes vibrantes avec des couches très minces et très lourdes]

Yuri Golovaty ¹ ; Delfina Gómez ² ; Miguel Lobo ² ; Eugenia Pérez ³

¹ Department of Mechanics and Mathematics, Franko Lviv National University, Lviv, Ukraine
² Departamento de Matemáticas, Estadı́stica y Computación, Universidad de Cantabria, Avenida de los Castros s/n, 39005 Santander, Spain
³ Departamento de Matemática Aplicada y Ciencias de la Computación, Universidad de Cantabria, Avenida de los Castros s/n, 39005 Santander, Spain

Comptes Rendus. Mécanique, Volume 330 (2002) no. 11, pp. 777-782.

Résumé
Abstract

On considère les vibrations d'une membrane qui contient une très mince et très lourde inclusion placée autour d'une courbe γ. On suppose que la membrane occupe un domaine $Ω \subset ℝ^{2}$ , tandis que l'inclusion occupe une couche $ω_{ϵ} \subset Ω$ de largeur 2ε, la densité étant d'ordre O(ε⁻³). La densité est d'ordre O(1) en dehors de la petite inclusion : la masse est concentrée autour de γ. ε est un petit paramètre, ε∈(0,1). À l'aide des développements asymptotiques, nous décrivons le comportement, pour ε→0, des éléments propres (λ^ε,u^ε) du problème spectral associé. En fait, nous obtenons les séries asymptotiques complètes pour les basses fréquences λ^ε=O(ε²) et les moyennes fréquences λ^ε=O(ε), ainsi que les fonctions propres correspondantes u^ε.

We consider the vibrations of a membrane that contains a very thin and heavy inclusion around a curve γ. We assume that the membrane occupies a domain $Ω$ of $ℝ^{2}$ . The inclusion occupies a layer-like domain $ω_{ϵ} \subset Ω$ of width 2ε and it has a density of order O(ε⁻³). The density is of order O(1) outside this inclusion, the concentrated mass around the curve γ. ε is a positive parameter, ε∈(0,1). By means of asymptotic expansions, we describe the behaviour, as ε→0, of the eigenelements (λ^ε,u^ε) of the associated spectral problem. We provide complete asymptotic series for the low frequencies λ^ε=O(ε²), the medium frequencies λ^ε=O(ε) and the corresponding eigenfunctions u^ε.

Reçu le : 2002-08-27
Révisé le : 2002-10-01
Publié le : 2002-10-24

DOI : 10.1016/S1631-0721(02)01531-0

Keywords: vibrations, concentrated masses, spectral analysis, low frequencies, medium frequencies
Mot clés : vibrations, masses concentrées, analyse spectrale, basses fréquences, moyennes fréquences

Affiliations des auteurs :

Yuri Golovaty ¹ ; Delfina Gómez ² ; Miguel Lobo ² ; Eugenia Pérez ³

¹ Department of Mechanics and Mathematics, Franko Lviv National University, Lviv, Ukraine
² Departamento de Matemáticas, Estadı́stica y Computación, Universidad de Cantabria, Avenida de los Castros s/n, 39005 Santander, Spain
³ Departamento de Matemática Aplicada y Ciencias de la Computación, Universidad de Cantabria, Avenida de los Castros s/n, 39005 Santander, Spain

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Yuri Golovaty; Delfina Gómez; Miguel Lobo; Eugenia Pérez. Asymptotics for the eigenelements of vibrating membranes with very heavy thin inclusions. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 330 (2002) no. 11, pp. 777-782. doi : 10.1016/S1631-0721(02)01531-0. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/S1631-0721(02)01531-0/

Bibliographie
Cité par

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Cité par Sources :

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