[Solution auto-semblable des équations d'Euler pour un fluide incompressible en trois dimensions]
L'existence de singularités apparaissant dans l'évolution d'un fluide incompressible au bout d'un temps fini à partir de données initiales lisses et d'énergie finie reste un problème non résolu de la mécanique théorique des fluides, qu'ils soient décrits par les équations d'Euler ou de Navier–Stokes. Cette note examine les équations proposées par Leray en 1934 décrivant une telle singularité de type auto-semblable. Le point de vue adopté consiste à transformer ces équations de Leray en un problème suffisament bien défini pour se préter à une approche numérique directe, ce qui ne concerne donc a priori que des fonctions lisses, la singularité ayant été éliminée par les transformations de similitude. Cette approche fait apparaître une problème d'équation aux dérivées partielles dans lequel la condition asymptotique contient une fonction libre de l'angle du vecteur position spatiale, soit un vecteur variant sur la surface de la sphère unité. Une fois connue cette fonction, on peut trouver la solution formellement par un développement de Laurent en puissances inverses du rayon. Cette solution n'est pas utilisable pratiquement. En particulier, existent certaines contraintes sur le comportement asymptotique de la solution dues à l'existence de la conservation du flux d'une quantité bien définie à travers toute sphère entourant l'origine. Si ce flux n'est pas nul, la solution diverge à l'origine, ce qui est incompatible avec l'hypothèse d'une solution lisse jusqu'au moment de la singularité en temps. Il faut donc imposer à ce flux d'être nul à travers une grande sphère entourant l'origine, ce qui s'exprime par des conditions explicites pesant sur la fonction de l'angle définissant la condition aux limites à grande distance. Le résultat est un schéma pour une solution numérique des équations de similitude de Leray par itération d'une transformation du champ de vitesse dont le point fixe serait la solution recherchée.
The equations for a self-similar solution to an inviscid incompressible fluid are mapped into an integral equation that hopefully can be solved by iteration. It is argued that the exponents of the similarity are ruled by Kelvin's theorem of conservation of circulation. The end result is an iteration with a nonlinear term entering a kernel given by a 3D integral for a swirling flow, likely within reach of present-day computational power. Because of the slow decay of the similarity solution at large distances, its kinetic energy diverges, and some mathematical results excluding non-trivial solutions of the Euler equations in the self-similar case do not apply.
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Mot clés : Mécanique des fluides, Turbulence, Équations aux dérivées partielles
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Yves Pomeau. On the self-similar solution to the Euler equations for an incompressible fluid in three dimensions. Comptes Rendus. Mécanique, Volume 346 (2018) no. 3, pp. 184-197. doi : 10.1016/j.crme.2017.12.004. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mecanique/articles/10.1016/j.crme.2017.12.004/
[1] Constantes d'un îlot tourbillonaire en fluide parfait barotrope, C. r. hebd. séances acad. sci. Paris, Volume 252 (1961), pp. 2810-2812
[2] Singularité dans l'évolution du fluide parfait, C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. II, Volume 321 (1995), pp. 407-411
[3] Turbulence: does energy cascade exist, J. Stat. Phys., Volume 167 (2017), pp. 596-625 ([Memorial issue to Leo Kadanoff])
[4] Essai sur le mouvement d'un fluide visqueux emplissant l'espace, Acta Math., Volume 63 (1934), pp. 193-248
[5] On the self-similar solutions of the 3D Euler and the related equations, Commun. Math. Phys., Volume 305 (2011), pp. 333-349
[6] Fluid Mechanics, Pergamon Press, Oxford, UK, 1987
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