On annonce la construction d'une déformation de l'opérateur de Dirac sur une variété compacte spin en un opérateur de Dirac hypoelliptique sur l'espace total du fibré tangent. Cette construction donne un analogue pour l'opérateur de Dirac d'une construction que nous avions effectuée pour le complexe de de Rham. Pour simplifier l'exposé, nous n'explicitons la construction que pour des variétés complexes. Nous construisons des métriques de Quillen hypoelliptiques, que nous comparons aux métriques de Quillen classiques.
We announce the construction of a deformation of the Dirac operator on a compact spin manifold into a hypoelliptic Dirac operator on the total space of the tangent space. This construction gives an analogue for the Dirac operator of a related deformation we already gave for the de Rham complex. For simplicity, we only explain the construction in the case of complex manifolds. We define hypoelliptic Quillen metrics, which we compare to the classical Quillen metrics.
Accepté le :
Publié le :
@article{CRMATH_2006__343_10_647_0,
author = {Jean-Michel Bismut},
title = {L'op\'erateur de {Dirac} hypoelliptique},
journal = {Comptes Rendus. Math\'ematique},
pages = {647--651},
publisher = {Elsevier},
volume = {343},
number = {10},
year = {2006},
doi = {10.1016/j.crma.2006.10.011},
language = {fr},
}
Jean-Michel Bismut. L'opérateur de Dirac hypoelliptique. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 343 (2006) no. 10, pp. 647-651. doi : 10.1016/j.crma.2006.10.011. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2006.10.011/
[1] Koszul complexes, harmonic oscillators, and the Todd class, J. Amer. Math. Soc., Volume 3 (1990) no. 1, pp. 159-256 (With an appendix by the author and C. Soulé)
[2] Une déformation de la théorie de Hodge sur le fibré cotangent, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 338 (2004) no. 6, pp. 471-476
[3] Le laplacien hypoelliptique sur le fibré cotangent, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 338 (2004) no. 7, pp. 555-559
[4] The hypoelliptic Laplacian on the cotangent bundle, J. Amer. Math. Soc., Volume 18 (2005) no. 2, pp. 379-476 (electronic)
[5] J.-M. Bismut, The hypoelliptic Dirac operator, a paraître, 2006
[6] Analytic torsion and holomorphic determinant bundles. I. Bott–Chern forms and analytic torsion, Comm. Math. Phys., Volume 115 (1988) no. 1, pp. 49-78
[7] Analytic torsion and holomorphic determinant bundles. III. Quillen metrics on holomorphic determinants, Comm. Math. Phys., Volume 115 (1988) no. 2, pp. 301-351
[8] Complex Immersions and Quillen Metrics, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., vol. 74, 1991 (1992), ii+298 pp
[9] Laplacien hypoelliptique et torsion analytique, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, Ser. I, Volume 341 (2005) no. 2, pp. 113-118
[10] J.-M. Bismut, G. Lebeau, The hypoelliptic Laplacian and Ray–Singer metrics, à paraître, 2006
[11] An arithmetic Riemann–Roch theorem, Invent. Math., Volume 110 (1992) no. 3, pp. 473-543
[12] Hypoelliptic second order differential equations, Acta Math., Volume 119 (1967), pp. 147-171
[13] Determinants of Cauchy–Riemann operators on Riemann surfaces, Funct. Anal. Appl., Volume 19 (1985) no. 1, pp. 31-34
[14] Analytic torsion for complex manifolds, Ann. of Math. (2), Volume 98 (1973), pp. 154-177
Cité par Sources :
Commentaires - Politique