On $ {\mathbb{A}}^{1}$-fundamental groups of isotropic reductive groups

Konrad Voelkel; Matthias Wendt

doi:10.1016/j.crma.2016.01.026

Homological algebra/Algebraic geometry

A^{1}

-fundamental groups of isotropic reductive groups
[Sur le groupe fondamental au sens de la A1-homotopie des groupes réductifs isotropes]

Présenté par : the Editorial Board

Konrad Voelkel ¹ ; Matthias Wendt ²

¹ Mathematisches Institut, Albert-Ludwigs-Universität Freiburg, Eckerstraße 1, 79104, Freiburg im Breisgau, Germany
² Fakultät für Mathematik, Universität Duisburg-Essen, Thea-Leymann-Strasse 9, 45127 Essen, Germany

Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 5, pp. 453-458.

Résumé
Abstract

Pour un groupe réductif isotrope G défini sur un corps infini k, satisfaisant une condition de rang approprié, nous montrons que l'ensemble des sections du $A^{1}$ -faisceau de groupe fondamental de G sur une extension des corps $L / k$ s'identifient avec la deuxième homologie des groupes de $G (L)$ . Pour un groupe déployé G, nous définissons des lacets explicites représentant tous les elements du groupe $A^{1}$ -fondamental. En utilisant la théorie de la $A^{1}$ -homotopie, on déduit une rélation de Steinberg pour ces lacets explicites.

For an isotropic reductive group G satisfying a suitable rank condition over an infinite field k, we show that the sections of the $A^{1}$ -fundamental group sheaf of G over an extension field $L / k$ can be identified with the second group homology of $G (L)$ . For a split group G, we provide explicit loops representing all elements in the $A^{1}$ -fundamental group. Using $A^{1}$ -homotopy theory, we deduce a Steinberg relation for these explicit loops.

Reçu le : 2015-10-23
Accepté le : 2016-01-19
Publié le : 2016-03-24

DOI : 10.1016/j.crma.2016.01.026

Affiliations des auteurs :

Konrad Voelkel ¹ ; Matthias Wendt ²

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Konrad Voelkel; Matthias Wendt. On $ {\mathbb{A}}^{1}$-fundamental groups of isotropic reductive groups. Comptes Rendus. Mathématique, Volume 354 (2016) no. 5, pp. 453-458. doi : 10.1016/j.crma.2016.01.026. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/mathematique/articles/10.1016/j.crma.2016.01.026/

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