Marche au hasard d’une quasi-particule massive dans le gaz de phonons d’un superfluide à très basse température

Yvan Castin

doi:10.5802/crphys.37

Marche au hasard d’une quasi-particule massive dans le gaz de phonons d’un superfluide à très basse température
[Random walk of a massive quasiparticle in the phonon gas of an ultralow temperature superfluid]

Yvan Castin ¹

¹ Laboratoire Kastler Brossel, ENS-Université PSL, CNRS, Université de la Sorbonne et Collège de France, 24 rue Lhomond, 75231 Paris, France

Comptes Rendus. Physique, Volume 21 (2020) no. 6, pp. 571-618.

Abstract
Résumé

We consider in dimension 3 a homogeneous superfluid at very low temperature $T$ having two types of excitations, (i) gapless acoustic phonons with a linear dispersion relation at low wave number, and (ii) gapped $γ$ quasiparticles with a quadratic (massive) dispersion relation in the vicinity of its extrema. Recent works [Nicolis and Penco (2018), Castin, Sinatra and Kurkjian (2017, 2019)], extending the historical study by Landau and Khalatnikov on the phonon–roton interaction in liquid helium 4, have explicitly determined the scattering amplitude of a thermal phonon on a $γ$ quasiparticle at rest to leading order in temperature. We generalize this calculation to the case of a $γ$ quasiparticle of arbitrary subsonic group velocity, with a rigorous construction of the $S$ matrix between exact asymptotic states, taking into account the unceasing phonon–phonon and phonon– $γ$ interaction, which dresses the incoming and emerging phonon and $γ$ quasiparticle by virtual phonons; this sheds new light on the Feynman diagrams of phonon– $γ$ scattering. In the whole domain of the parameter space (wave number $k$ , interaction strength, etc.) where the $γ$ quasiparticle is energetically stable with respect to the emission of phonons of arbitrary wavevector, we can therefore characterize the erratic motion it performs in the superfluid due to its unceasing collisions with thermal phonons, through (a) the mean force $F (k)$ and (b) longitudinal and transverse momentum diffusion coefficients $D_{⫽} (k)$ and $D_{⊥} (k)$ coming into play in a Fokker–Planck equation, then, at long times when the quasiparticle has thermalized, (c) the spatial diffusion coefficient $𝒟^{spa}$ , independent of $k$ . At the location $k_{0}$ of an extremum of the dispersion relation, where the group velocity of the quasiparticle vanishes, $F (k)$ varies linearly with velocity with an isotropic viscous friction coefficient $α$ that we calculate; if $k_{0} = 0$ , the momentum diffusion is also isotropic and $F (k_{0}) = 0$ ; if $k_{0} > 0$ , it is not ( $D_{⫽} (k_{0}) \neq D_{⊥} (k_{0})$ ), and $F (k_{0})$ is non-zero but subleading with respect to $α$ by one order in temperature. The velocity time correlation function, whose integral gives $𝒟^{spa}$ , also distinguishes between these two cases ( $k_{0}$ is now the location of the minimum): if $k_{0} = 0$ , it decreases exponentially, with the expected viscous damping rate of the mean velocity; if $k_{0} > 0$ , it is bimodal and has a second component, with an amplitude lower by a factor $\propto T$ , but with a lower damping rate in the same ratio (it is the thermalization rate of the velocity direction); this balances that. We also characterize analytically the behavior of the force and of the momentum diffusion in the vicinity of any sonic edge of the stability domain where the quasiparticle speed tends to the speed of sound in the superfluid. The general expressions given in this work are supposedly exact to leading order in temperature (order $T^{8}$ for $F (k)$ , order $T^{9}$ for $D_{⫽} (k)$ , $D_{⊥} (k)$ and $F (k_{0})$ , order $T^{- 7}$ for $𝒟^{spa}$ ). They however require an exact knowledge of the dispersion relation of the $γ$ quasiparticle and of the equation of state of the superfluid at zero temperature. We therefore illustrate them in the BCS approximation, after calculating the stability domain, for a fermionic $γ$ quasiparticle (an unpaired fermion) in a superfluid of unpolarized spin $1 / 2$ fermions, a system that can be realised with cold atoms in flat bottom traps; this domain also exhibits an interesting, unobserved first order subsonic instability line where the quasi-particle is destabilized by emission of phonons of finite wave vectors, in addition to the expected sonic instability line resulting from Landau’s criterion. By the way, we refute the thesis of Lerch, Bartosch and Kopietz (2008), stating that there would be no fermionic quasiparticle in such a superfluid.

Nous considérons en dimension 3 un superfluide homogène de très basse température $T$ présentant deux types d’excitations, (i) des phonons acoustiques sans bande interdite de relation de dispersion linéaire à faible nombre d’onde, et (ii) des quasi-particules $γ$ à bande interdite de relation de dispersion quadratique (massive) au voisinage de ses extréma. Des travaux récents [Nicolis et Penco (2018), Castin, Sinatra et Kurkjian (2017, 2019)], prolongeant l’étude historique de Landau et Khalatnikov sur l’interaction phonon–roton dans l’hélium 4 liquide, ont déterminé explicitement l’amplitude de diffusion d’un phonon thermique sur une quasi-particule $γ$ au repos à l’ordre dominant en température. Nous généralisons ce calcul au cas d’une quasi-particule $γ$ de vitesse de groupe subsonique arbitraire, avec une construction rigoureuse de la matrice $S$ entre états asymptotiques exacts, tenant compte de l’interaction incessante phonon–phonon et phonon– $γ$ , qui habille le phonon et la quasi-particule $γ$ incidents ou émergents de phonons virtuels ; ceci apporte un éclairage physique nouveau sur les diagrammes de Feynman de la diffusion phonon– $γ$ . Dans tout le domaine de l’espace des paramètres (nombre d’onde $k$ , force des interactions, etc) où la quasi-particule $γ$ est énergétiquement stable vis-à-vis de l’émission de phonons de vecteurs d’onde arbitraires, nous pouvons dès lors caractériser le mouvement erratique qu’elle effectue dans le superfluide à la suite de ses collisions incessantes avec les phonons thermiques, au travers (a) de la force moyenne subie $F (k)$ et (b) des coefficients de diffusion en impulsion longitudinal $D_{⫽} (k)$ et transverse $D_{⊥} (k)$ intervenant dans une équation de Fokker–Planck puis, aux temps longs où la quasi-particule s’est thermalisée, (c) du coefficient de diffusion spatiale $𝒟^{spa}$ , indépendant de $k$ . À l’endroit $k_{0}$ d’un extrémum de la relation de dispersion, où la vitesse de groupe de la quasi-particule s’annule, $F (k)$ varie linéairement en vitesse avec un coefficient de frottement visqueux isotrope $α$ que nous calculons ; si $k_{0} = 0$ , la diffusion en impulsion est elle aussi isotrope et $F (k_{0}) = 0$ ; si $k_{0} > 0$ , elle ne l’est pas ( $D_{⫽} (k_{0}) \neq D_{⊥} (k_{0})$ ), et $F (k_{0})$ est non nul mais sous-dominant par rapport à $α$ d’un ordre en température. La fonction de corrélation temporelle de la vitesse, dont l’intégrale donne $𝒟^{spa}$ , distingue aussi entre ces deux cas ( $k_{0}$ est cette fois l’endroit du minimum) : si $k_{0} = 0$ , elle décroît exponentiellement, avec le taux d’amortissement visqueux attendu de la vitesse moyenne ; si $k_{0} > 0$ , elle est bimodale et admet une seconde composante, d’amplitude plus faible par un facteur $\propto T$ , mais de taux d’amortissement plus faible dans le même rapport (c’est le taux de thermalisation de la direction de la vitesse), ceci compensant cela. Nous caractérisons aussi analytiquement le comportement de la force et de la diffusion en impulsion au voisinage de tout bord sonique du domaine de stabilité où la vitesse de la quasi-particule tend vers la vitesse du son dans le superfluide. Les expressions générales données dans ce travail sont censément exactes à l’ordre dominant en température (ordre $T^{8}$ pour $F (k)$ , ordre $T^{9}$ pour $D_{⫽} (k)$ , $D_{⊥} (k)$ et $F (k_{0})$ , ordre $T^{- 7}$ pour $𝒟^{spa}$ ). Elles supposent cependant une connaissance exacte de la relation de dispersion de la quasi-particule $γ$ et de l’équation d’état du superfluide à température nulle. Nous les illustrons donc dans l’approximation BCS, après calcul du domaine de stabilité, pour une quasi-particule $γ$ fermionique (un fermion non apparié) dans un superfluide de fermions de spin $1 / 2$ non polarisé, système réalisable avec des atomes froids dans des pièges à fond plat ; ce domaine présente d’ailleurs une intéressante ligne d’instabilité subsonique du premier ordre, inobservée, où la quasi-particule se déstabilise par émission de phonons de vecteurs d’onde non infinitésimaux, en plus de la ligne d’instabilité sonique attendue issue du critère de Landau. En passant, nous réfutons la thèse de Lerch, Bartosch et Kopietz (2008), selon laquelle il n’existerait pas de quasi-particule fermionique dans un tel superfluide.

Published online: 2021-01-14

DOI: 10.5802/crphys.37

Mot clés : Gaz de fermions, Condensat de paires, Modes collectifs, Diffusion phonon–roton, Paire brisée, Atomes froids, Théorie BCS
Keywords: Fermi gases, Pair condensate, Collective modes, Phonon–roton scattering, Broken pair, Ultracold atoms, BCS theory

Author's affiliations:

Yvan Castin ¹

¹ Laboratoire Kastler Brossel, ENS-Université PSL, CNRS, Université de la Sorbonne et Collège de France, 24 rue Lhomond, 75231 Paris, France

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CC-BY 4.0

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Yvan Castin. Marche au hasard d’une quasi-particule massive dans le gaz de phonons d’un superfluide à très basse température. Comptes Rendus. Physique, Volume 21 (2020) no. 6, pp. 571-618. doi : 10.5802/crphys.37. https://comptes-rendus.academie-sciences.fr/physique/articles/10.5802/crphys.37/

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