Nous considérons l’évolution collisionnelle vers l’équilibre du gaz de phonons spatialement homogène et isotrope d’un superfluide tridimensionnel à branche d’excitation acoustique concave, à une température T non nulle mais arbitrairement basse. Les collisions à trois phonons 1ϕ ↔ 2ϕ sont interdites par la conservation de l’énergie-impulsion. Les collisions à quatre phonons 2ϕ → 2ϕ de Landau et Khalatnikov ne conduisent, au bout d’un temps ∝ T–7, qu’à un équilibre thermique partiel, une loi de Bose de potentiel chimique non nul pour les phonons, car elles en conservent le nombre total. La relaxation vers l’équilibre thermochimique complet est donc assurée par les collisions beaucoup plus lentes à cinq phonons 2ϕ ↔ 3ϕ de Khalatnikov, en un temps ∝ T–9. Au moyen d’équations cinétiques sur les nombres d’occupation des modes de phonons et après calcul explicite par l’hydrodynamique quantique de l’amplitude de collision 2ϕ → 3ϕ à basse température, nous déterminons l’évolution correspondante de la fugacité zϕ du gaz de phonons depuis le régime non dégénéré zϕ = 0+ jusqu’à l’équilibre complet zϕ = 1–. En utilisant la conservation de l’énergie totale, nous trouvons que la fugacité varie avec une loi de puissance non entière ∝ t4/5 aux temps courts et une loi exponentielle aux temps longs ; la vitesse de variation de l’entropie, toujours positive, est asymptotiquement proportionnelle au carré de la vitesse de variation de la fugacité, (d/dt)Sϕ ∝ [(d/dt)zϕ]2, comme l’avait prédit Landau pour une transformation adiabatique arbitrairement lente. Nos résultats portent à son terme l’étude commencée par Khalatnikov en 1950 et pourraient être vérifiés expérimentalement dans un gaz d’atomes froids fermioniques de spin 1/2 dans le secteur du raccordement CBE-BCS où la branche acoustique est de départ concave, ou dans l’hélium 4 liquide superfluide à suffisamment haute pression.
We consider the collisional evolution towards equilibrium of a spatially homogeneous and isotropic phonon gas of a three-dimensional superfluid with a concave acoustic excitation branch, at a non-zero but arbitrarily low temperature T. Three-phonon collisions 1ϕ ↔ 2ϕ are forbidden by conservation of energy-momentum. Four-phonon collisions 2ϕ → 2ϕ of Landau and Khalatnikov lead, after a time ∝ T–7, only to a partial thermal equilibrium, a Bose law of non-zero chemical potential for the phonons, because they conserve the total number of phonons. Relaxation towards complete thermochemical equilibrium is therefore ensured by the much slower five-phonon collisions 2ϕ ↔ 3ϕ of Khalatnikov, in a time ∝ T–9. Using kinetic equations on the occupation numbers of the phonon modes and explicitly calculating the 2ϕ → 3ϕ collisional amplitude with quantum hydrodynamics at low temperature, we determine the corresponding evolution of the fugacity zϕ of the phonon gas from the non-degenerate regime zϕ = 0+ to complete equilibrium zϕ = 1–. Using the conservation of total energy, we find that the fugacity varies with a non-integer power law ∝ t4/5 at short times and an exponential law at long times; the speed of change of entropy, always positive, is asymptotically proportional to the square of the speed of change of fugacity, (d/dt)Sϕ ∝ [(d/dt)zϕ]2, as Landau predicted for an arbitrarily slow adiabatic transformation. Our results bring to a close the study initiated by Khalatnikov in 1950 and could be experimentally verified in a gas of cold spin-1/2 fermionic atoms in the sector of the BEC-BCS crossover where the acoustic branch has a concave start, or in superfluid liquid helium-4 at sufficiently high pressure.
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Keywords: Superfluid, acoustic branch, phonons, kinetic equations, phonon-phonon collisions, chemical potential, low-temperature limit
Yvan Castin 1 ; Mariia Tsimokha 1
CC-BY 4.0
Yvan Castin; Mariia Tsimokha. Relaxation du nombre de phonons dans un superfluide 3D à branche acoustique concave. Comptes Rendus. Physique, Volume 27 (2026), pp. 381-413. doi: 10.5802/crphys.292
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